❸正弦交流电路

相量法

复数

形式	表达式
代数形式	$F=a+jb$
三角形式	$F=\lvert F\rvert (\cos\theta + j \sin \theta )$
指数形式	$F=\lvert F\rvert e^{j\theta }$
极坐标形式	$F=\lvert F\rvert \angle \theta $

其中$|F|=\sqrt{a^2+b^2}\quad θ=arctan\frac{b}{a}$, 欧拉公式：

$$e^{i\theta}=\cos\theta + i \sin\theta=1\angle\theta$$

复数的运算：

原则：加减法用代数式，乘除法用指数或者极坐标式。

1. 相等

2. 加减(向量加减) $A_1±A_2=(a_1±a_2)+j (b_1±b_2)$

3. 乘除(用指数形式来记忆)

   $$\begin{aligned} F_1\cdot F_2 &=|F_1|\cdot|F_1|\cdot e^{j(\theta_1+\theta_2)}=|F_1\cdot F_2|\angle \theta_1+\theta_2 \\ \frac{F_1}{ F_2} &=\frac{|F_1|}{|F_2|}\angle \theta_1-\theta_2 \\ \end{aligned}$$

4. 旋转（即模为1的乘除法）

   例子：

   $$\begin{aligned} & \qquad 220 \angle 35^{\circ}+\frac{(17+j 9)(4+j 6)}{20+j 5} \\ &=180.2+j 126.2+\frac{19.24 \angle 27.9^{\circ} \times 7.211 \angle 56.3^{\circ}}{20.62 \angle 14.04^{\circ}} \\ &=180.2+j 126.2+6.728 \angle 70.16^{\circ} \\ &=180.2+\mathrm{j} 126.2+2.28+\mathrm{j} 6.33 \\ &=182.48+\mathrm{j} 132.53 \\ &=225.5 \angle 36^{\circ} \end{aligned}$$

正弦量

在选定的参考方向下,电路中随时间按正弦规律变化的电压、电流等,称为正弦量。

$$i(t)=I_m\cos(\omega t +\varphi)$$

要点：振幅（最大值），角频率(相角变化的速度)，初相位。

相位差：$\varphi_{12}=\varphi_{i_1}-\varphi_{u_2}$ 各种叫法：

情况	叫法
$\varphi_{12}<0$	u提前i $\varphi$角, i滞后u $\varphi$角
$\varphi_{12}=0$	同相
$\varphi_{12}>0$	u滞后i $\varphi$角, i提前u $\varphi$角
$\varphi_{12}=180^{\circ}$	反相
$\varphi_{12}=π /2$	正交(称u提前i $\pi /2$角,或i滞后u $\pi /2$角 )

有效值

定义：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根

$$\begin{aligned} I&=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2}(t) d t}\\ U&=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2}(t) d t} \end{aligned}$$

对于非正弦情况，因为如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即傅里叶级数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条件,因而可以分解为下列的傅里叶级数。根据傅立叶级数变换

$$f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k} \cos k w t+B_{k} \sin k w t\right)$$

一个非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数:

$$i=I_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right)$$

进而：

$$\begin{array}{l}I=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[I_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right)\right]^{2} d t} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} d t=I_{0}^{2} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{m k}^{2} \sin ^{2}\left(k \omega t+\varphi_{k}\right) d t=\left(\begin{array}{c}I_{m k} \\\sqrt{2}\end{array}\right)^{2}=I_{k}^{2} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 2 I_{0} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right) d t=0 \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 2 I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right) I_{m q} \sin \left(q \omega t+\varphi_{q}\right) d t=0\end{array}$$

最终得到非正弦周期电流i的有效值（电压同理）：

$$\color{red} I=\sqrt{I_0^2+I_2^2+I_3^2+\cdots I_m^2+\cdots}$$

向量表示

由于复数部分没有物理意义，所以可以用复数来表示正弦量。

$$i(t)=I_m\cos(\omega t +\varphi) ⇔ A(t)=\sqrt{2} I e^{j(\omega t +\varphi)}$$

因此可以用向量来表示正弦量如下

$$\begin{array}{l}i(t)=\sqrt{2} I \operatorname{Cos}(\omega t+\varphi) \rightarrow \dot{I}=I \angle \varphi \\u(t)=\sqrt{2} U \operatorname{Cos}(\omega t+\theta) \rightarrow \dot{U}=U \angle \theta\end{array}$$

已知

$$i=141.4 \operatorname{Cos}\left(314 t+30^{\circ}\right) \mathrm{A}\\ u=311.1 \operatorname{Cos}\left(314 t-60^{\circ}\right) \mathrm{V}$$

试用相量表示 $i, u$

$${i}=100 \angle 30^{\circ} \mathrm{A} \quad \dot{U}=220 \angle-60^{\circ} \mathrm{V}$$

同频率正弦量直接向量相加。

*三种基本电路元件伏安关系的相量形式

阻抗与导纳

(伏)阻抗定义

正弦激励下无源线性电路电压与电流的比值，代表限制电流的能力。

$$Z \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U \angle \varphi_{u}}{I \angle \varphi_{i}}=\frac{U}{I} \angle \varphi_{u}-\varphi_{i}=|Z| \angle \varphi_{Z}=R+jX$$

其中$|Z|=\frac{U}{I}$ 称之为阻抗模，$\varphi_Z=\varphi_u-\varphi_i$称之为阻抗角,X称之为电抗。向量形式$ZRX$显而易见，再定义：

$$\left\{\begin{array}{l} R=\operatorname{Re}[Z]=|Z| \cos \varphi_{Z}\quad\text{电阻} \\ X=\operatorname{Im}[Z]=|Z| \sin \varphi_{Z}\quad\text{电抗} \end{array}\right.$$

如果假设所在电路只有一个组件，则可以得到电阻、电容、电感的阻抗表达式如下

原件	(伏)阻抗$Z_R$
R(电阻)	R
L(感抗)	$j \omega L$
C(容抗)	$1/j \omega C$

由上面的表达式可以得到：电阻阻抗不变；感抗与$\omega$成正比，无穷大时开路；容抗与$\omega$成反比，趋于零时其值最大（阻直流），无穷时其值趋于零(短路)。

由于电抗的存在，使电流、电压的相位不同，存在相位差。而电阻则不影响电路的相位，从下面的分析可见一二。

RLC串联电路的阻抗：

容易计算得到电抗值为：$X=X_{L}-X_{C}=\omega L-\frac{1}{\omega C}$，因此，当电容电感取值不一样时，电压电流的相位关系有所不同：

$$\left\{\begin{array}{l} X>0, \omega L>\frac{1}{\omega C}, \varphi_{z}>0,\ \text{Z呈感性，电压超前电流} \\ X<0, \omega L<\frac{1}{\omega C}, \varphi_{z}<0,\ \text{Z呈容性，电压滞后电流} \\ X=0, \omega L=\frac{1}{\omega C}, \varphi_{Z}=0,\ \text{Z呈电阻性，谐振，电压、电流同相} \end{array}\right.$$

经过上面的分析，可以看出阻抗的表达式由电阻分量与电抗分量组成：

$$\color{red}Z(j \omega)=R(\omega)+j X(\omega)$$

*导纳的定义：

简而言之。导纳就是阻抗的倒数，导纳模，导纳角的定义不再赘述，

$$Y \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{I \angle \varphi_{i}}{U \angle \varphi_{u}}=\frac{I}{U} \angle \varphi_{i}-\varphi_{u}=|Y| \angle \varphi_{y}=G+jB$$

RLC并联电路的导纳：

差不多，真的很像！简直一模一样！不写了，考试又不考，以后又不大用得上，知识，请原谅我的无情吧。

阻抗串联，求和方法与电阻一样。

导纳并联，各支路导纳直接加和。

正弦稳态电路的分析

电阻电路与正弦稳态电路相量法分析是极其相似的：

方法知道了，但总归还是多刷题：

正弦稳态电路的功率

有功（平均）功率

由上面i u 的表达式可以定义瞬时功率P：

$$\begin{aligned} p=u i &=\sqrt{2} U \cos \left(\omega t+\varphi_{u}\right) \cdot \sqrt{2} I \cos \left(\omega t+\varphi_{i}\right) \\ &=2 U I \cos \left(\omega t+\varphi_{u}\right) \cos \left(\omega t+\varphi_{i}\right) \\ &=U I \cos \left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)+U I \cos \left(2 \omega t+\varphi_{u}+\varphi_{i}\right) \\ &=U I \cos \varphi+U I \cos \left(2 \omega t+\varphi_{u}+\varphi_{i}\right) \end{aligned}$$

画成图像如下：

• p>0, 电路吸收功率，p<0，电路发出功率。
• p以2$\omega$角频率变化。

但瞬时功率不断变化，没什么鸟用，我们可以用微积分思想来求其在一段时间内的平均功率，亦即在时间t内瞬时功率p的积分

$$P=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} U I\left[\cos \varphi+\cos \left(2 \omega t+2 \varphi_{u}+\varphi_{i}\right)\right] d t$$

$$\color{red}P=UI\cos\varphi\quad(W)$$

称$\color{red}\lambda=\cos\varphi$ 为功率因数，$\varphi$为功率因数角，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。当$\cos\varphi=1$为纯电阻电路，当$\cos\varphi=0$为纯电抗电路。

无功功率

$$\color{red}Q=UI\sin \varphi\quad(var)$$

Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的。

视在功率

$$\color{red} S=UI\quad(VA)$$

视在功率反映电气设备的容量。

$$S^2=P^2+Q^2$$

$$\varphi=\arctan(\frac{Q}{P})$$

$\varphi$代表电流与电压的相位差

原件&电路	$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$
电阻	0
电容	$\pi/2$
电感	$-\pi/2$
RLC串联	$\varphi_Z$
RLC并联	$\varphi_Z$

复功率

为了用向量来直接计算功率（天空总是很蓝，人们总是很懒^[1]）

$$\begin{aligned} \dot{U} &=U \angle \varphi_{u} \quad\dot{I}=I \angle \varphi_{i} \\ P &=U I \cos \left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)=U I \operatorname{Re}\left[e^{\mathrm{j}\left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)}\right] \\ &=\operatorname{Re}\left(U \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi_{u}} \cdot I \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \varphi_{i}}\right)\\ &=Re[\dot{U}\cdot \dot{I}^*] \end{aligned}$$

$$\color{red} \bar{S}=\dot{U} \dot{I}^{*}$$

$$\begin{aligned} \bar{S}&=U I \angle\left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)=U I \angle \varphi=S \angle \varphi \\ &=U I \cos \varphi+\mathrm{j} U I \sin \varphi \\ &=P+\mathrm{j} Q \end{aligned}$$

• 复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。

提高功率因数

功率因数过低时，设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率还有容量没用； 当输出相同的有功功率时，线路上电流大$I=P/(U\cos\varphi)$，线路压降损耗大。

解决方法：并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。

功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。

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1. 不知道哪里听来的一句话 ↩︎